Método de las aproximaciones sucesivas

Descripción

El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

donde f(x) es una función continua que se desea determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente

Se estima el valor aproximado de la raíz x₀, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x₁.

Poniendo x₁ como argumento de j(x), obtendremos un nuevo número x₂, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.

(1)
Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución x es

El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura. Se dibuja la curva y=j(x), y la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa x del punto de intersección es la raíz buscada.
Un ejemplo típico es la de encontrar la raíz de la ecuación

Para encontrar la raíz, se comienza en el punto cualquiera de abscisa x₀ dentro del intervalo (0, p/2), y se traza la línea vertical hasta que interseca la curva, luego, desde este punto, se traza una línea horizontal hasta que se alcanza la recta bisectriz, este punto tendrá por abscisa x₁. Se traza de nuevo, una línea vertical hasta encontrar a la curva, y otra línea horizontal hasta encontrar la línea recta, el punto de intersección tiene de abscisa x₂ , y así sucesivamente. Como podemos apreciar en la figura, la sucesión x₁, x₂, x₃... tiende hacia la raíz x de la ecuación buscada.
Tal como nos sugiere la representación gráfica de la función en la figura, la raíz buscada está en el intervalo 0 a p/2. Tomamos una aproximación inicial a la raíz x₀, en dicho intervalo y aplicamos la fórmula (1), su codificación no presenta grandes dificultades.

        double x=0.5;
        while(true){
            x=Math.cos(x);
        }

La condición de finalización

Primero, introducimos el valor inicial x, la primera aproximación, calculamos el valor del coseno de x, el valor devuelto (segunda aproximación), lo guardamos de nuevo en la variable x, y repetimos el proceso indefinidamente. El código aunque correcto, necesita terminarse en algún momento, cumpliendo una determinada condición. Cuando el valor absoluto del cociente entre la diferencia de dos términos consecutivos de la sucesión y uno de los términos, sea menor que cierta cantidad e.

Este criterio, no es completamente riguroso, pero es un buen punto de partida para el estudio de este método. Volvemos a escribir el código incluyendo la condición de terminación y dentro de una función denominada raiz, a la que se le pasa el valor inicial y que devuelve la raíz buscada

    final double ERROR=0.001;
    double raiz(double x0){
        double x1;
        while(true){
            x1=Math.cos(x0);
            if(Math.abs((x1-x0)/x1)<ERROR)   break;
            x0=x1;
        }
        return x0;
    }

En primer lugar, fijamos el valor de la constante e o ERROR. Introducimos la primera aproximación a la raíz, y la guardamos en la variable x₀, calculamos su coseno y obtenemos la segunda aproximación, la guardamos en la variable x₁. Verificamos si se cumple la condición de terminación. En el caso de que no se cumpla, x₀ toma el valor de x₁ y se repite el proceso. En el momento en que se cumpla la condición de terminación, se sale del bucle y la función devuelve la raíz buscada. Como podemos observar las variables x₀ y x₁ guardan dos términos consecutivos de la sucesión que tiende hacia la raíz de la función.

La clase que describe el procedimiento

Queremos que el procedimiento numérico sea independiente de la función f(x) cuya raíz deseamos averiguar. Para ello, creamos una clase base abstracta denominada Ecuacion con una función miembro raiz que defina el procedimiento numérico, y que deje sin definir la función f(x), declarándola abstracta, dejando a las clases derivadas de Ecuacion la definición de la función f(x) particular.

public abstract class Ecuacion {
    protected static final double ERROR=0.001;

    public double raiz(double x0){
        double x1;
        while(true){
            x1=f(x0);
            if(Math.abs(x1-x0)<ERROR)   break;
            x0=x1;
        }
        return x0;
    }

    abstract public double f(double x);
}

Las clases derivadas denominadas Funcion1 y Funcion2 definen la función f(x)

public class Funcion1 extends Ecuacion{
    public double f(double x){
        return Math.cos(x);
    }
}

public class Funcion2 extends Ecuacion{
    public double f(double x){
        return Math.pow(x+1, 1.0/3);
    }
}

Creamos objetos de las clases derivadas y llamamos desde ellos a la función raiz que describe el procedimiento numérico

        Funcion1 f1=new Funcion1();
        System.out.println("solucion1 "+f1.raiz(0.5));
        System.out.println("solucion1 "+f1.raiz(0.9));
        Funcion2 f2=new Funcion2();
        System.out.println("solucion1 "+f2.raiz(0.5));

En las dos primeras llamadas a la función raiz comprobamos que la solución buscada no depende del valor inicial de partida x₀, que en el primer caso es 0.5 y en el segundo caso es 0.9.

El criterio de convergencia

No todas las ecuaciones pueden resolverse por este método, solamente si el valor absoluto de la derivada de la función j(x) en la vecindad de la raíz x es menor que la unidad (la pendiente de la recta bisectriz del primer cuadrante es uno). En la figura, podemos ver como es imposible encontrar la solución marcada por un puntito negro en la intersección entre la curva y la recta bisectriz del primer cuadrante, ya que la sucesión x_i diverge.